$APPLICATION$ शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितने अलग-अलग शब्द बनाए जा सकते हैं ताकि कोई भी दो स्वर एक साथ न आएं?

${2^n} \{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 3) \cdot (2n - 1) \}$ का मान है

$BARRACK$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले चार अक्षरों वाले शब्दों की संख्या है

नीचे दी गई असमानताओं में से,$1000$ से बड़ी सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए कौन सी सत्य हैं?
$I. n! \leq n^n$
$II. (n!)^2 \leq n^n$
$III. 10^n \leq n!$
$IV. n^n \leq (2n)!$

अंकों $\{1, 2, 3, 5, 6, 8\}$ का उपयोग करके $5$ भिन्न अंकों वाली सभी संभावित $5$-अंकीय संख्याएँ बनाई जाती हैं। उनमें से,ऐसी संख्याओं की संख्या जो $3$ से विभाज्य हैं लेकिन $6$ से नहीं,है:

मान लीजिए $0 \leq r \leq n$ है। यदि ${ }^{n+1} C_{r+1} : { }^{n} C_{r} : { }^{n-1} C_{r-1} = 55 : 35 : 21$ है,तो $2n + 5r$ का मान ज्ञात कीजिए: